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初貝 安弘 ORCID iD icon
筑波大学
筑波大学大学院
数理物質科学研究科
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量子力学3 (2013) : 筑波大学理工学群物理学類
・学部3年
講義ノート [PDF]
目次
第1章 量子論における対称性
第2章 角運動量
第3章 回転群とその表現
付録A1 ディラックのブラケット記法
付録A2 Boson演算子について
演習問題 [PDF]
2013試験問題(公式集を含む)

概要

I. 量子力学における対称性
対称性と保存量
時間推進とエネルギー
空間並進と運動量
回転と角運動量
II. 量子力学における角運動量
角運動量演算子の代数
角運動量の量子化
スピンとパウリ行列
2つのスピンの作る1重項と3重項
スピン・軌道相互作用
III. 回転群とその表現
連続群としての回転群
群の表現と基底
SU(2)とSO(3)
回転群と球面調和関数
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数
ベクトル演算子、テンソル演算子
ウィグナー・エッカートの定理
教科書・参考書
A. Messiah: Quantum Mechanics (Dover) [amazon]
L. I. Schiff: 量子力学(上)(下)吉岡書店 [amazon]
J. J. Sakurai :現代の量子力学(上)(下)吉岡書店 [amazon]
犬井、田辺、小野寺:「応用群論」裳華房 [amazon]
Math detail: 初貝:「物理学のための応用解析」(サイエンス社) [amazon](増刷にて在庫あり)
ご注意:まとめに選ばせて頂いているノートの選択ははTAの方に任せています。
第1回 4月12日(金):まとめ [栗木さん] [佐藤さん] [鈴木さん]
Dirac のブラケット記法
  • 波動関数と演算子
  • 関数空間の内積
  • エルミート共役とブラケット
  • 関数列の規格直交性と完全性
  • エルミート演算子の固有値、同時対角化
第2回 4月16日(火):まとめ [大島さん] [田中さん] [戸澤さん]
 (演習問題1「ブラケット記法とエルミート演算」配布)
量子論における対称性
  • 対称操作とユニタリ変換
  • 変換の母関数と無限小変換
  • ハミルトニアンを不変にする変換と保存量
対称操作の具体例
  • 空間並進の母関数としての運動量とその保存
  • 時間推進の母関数としてのハミルトニアンとエネルギー保存
第3回 4月19日(金):まとめ [古谷さん] [栗木さん] [荻野さん]
 (演習問題2「調和振動子と角運動量」配布)
復習
対称操作の具体例(続き)
空間回転
  • 空間回転と直交行列
  • 無限小回転と反対称行列
  • 空間回転の母関数としての角運動量とその保存
  • ベクトル演算子、スカラー演算子とその変換
  • 自由粒子、調和振動子の回転対称性
  • 角運動量演算子の交換子
第4回 4月23日(火):まとめ [福田さん] [佐藤さん] [柴田さん]
第1回演習
演習問題1「ブラケット記法とエルミート演算」
第5回 4月26日(金):まとめ [大山さん] [佐藤さん] [佐藤さん]
角運動量演算子の代数
  • 一般化した角運動量演算子の交換子
  • J2とJz
  • 上昇演算子と下降演算子
  • 角運動量の内積
第6回 4月30日(火):まとめ [萩野さん] [佐藤さん] [平尾さん]
第2回演習
演習問題2「調和振動子と角運動量」
角運動量の量子化
第7回 5月10日(金):まとめ [佐橋さん] [古谷さん] [八木さん]
角運動量の量子化
  • 角運動量の固有状態
  • 最大の角運動量を持つ状態
  • 上昇演算子と下降演算子の行列要素
  • 角運動量の整数と半奇整数への量子化
第8回 5月13日(火):まとめ [大山さん] [佐藤さん] [平尾さん]
スピン仮説
  • minimal 結合によるハミルトニアン
  • 一様磁場中の荷電粒子の角運動量
  • ゼーマン効果
スピン1/2の演算子
  • パウリ行列と1/2スピン
  • パウリ行列の性質
  • 磁場中のスピン1/2粒子の固有値
第9回 5月17日(金):まとめ [大山さん] [萩野さん] [關沢さん]
第3回演習
演習問題3「角運動量と球面調和関数」
第10回 5月21日(火):まとめ [古谷さん] [平尾さん] [大山さん]
スピン軌道関数
  • ボーア磁子とg因子
  • 磁場によるスピン分裂
  • スピン軌道相互作用
時間反転対称性
  • 反ユニタリ変換
  • 時間反転演算子と運動量、角運動量,スピン
  • クラマース縮退
  • 多粒子系の時間反転対称性
第11回 5月24日(金):まとめ [佐藤さん] [柴田さん] [鈴木さん]
2つのS=1/2のスピンの合成
  • 2スピン系とは
  • テンソル積による状態
  • 合成スピン
  • Sz-=S1z+S2zの固有値mの合成則
  • 全スピンSの確定
  • |11>
  • |10>
  • |1-1>
第12回 5月28日(火):まとめ [萩野さん] [古谷さん] [大山さん]
2スピン系の状態の2つの表示
  • 個々のスピンのテンソル積状態
  • 全スピンの固有状態
  • 2つの状態の表現の間の変換行列としてのClebsch-Gordan 係数
  • 2つのS=1/2のスピンの合成をもう一度
2つの一般の角運動量の和
  • Clebsch-Gordan 係数:個々の角運動量の固有状態のテンソル積から全角運動量の固有状態へ
  • Clebsch-Gordan 係数:全角運動量の固有状態から個々の角運動量の固有状態のテンソル積へ
  • Clebsch-Gordan 係数の直交関係
第13回 5月31日(金):まとめ [佐橋さん] [柴田さん] [津村さん]
一般の角運動量の合成
  • それぞれの角運運動量の状態からつくるテンソル積状態
  • 全角運動量の状態
Clebsch-Gordan 係数
  • 2種類の直交関係
  • 具体的なClebsch-Gordon 係数の構成法
  • 可能な合成角運動量の値
第14回 6月4日(火):まとめ [宇野さん] [大山さん] [山崎さん]
第4回演習
演習問題4「スピンとパウリ行列」
第15回 6月7日(金):まとめ [工藤さん] [丹羽さん] [三浦さん]
角運動量の合成についてもう一度
  • Clebsch-Gordan係数の直交性
  • Clebsch-Gordan係数のユニタリティー
  • j1 ⊗ j2=j1+j2⊕...⊕ |j1-j2|
具体的なClebsch-Gordan 係数
  • 1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0 : 交換相互作用と2スピン系のエネルギー
  • 1 ⊗ 1 = 2 ⊕ 1⊕ 0
第16回 6月11日(火):まとめ [佐藤さん] [武井さん] [田中さん]
Clebsch-Gordan係数の決定に関する射影演算子の方法
  • 1/2 ⊗ 1/2 の場合
  • 1 ⊗ 1 の場合
ベクトル演算子から既約テンソル演算子へ
  • 演算子としてみた球面調和関数
  • 既約テンソル演算子
第17回 6月14日(金):まとめ [荻野さん] [平尾さん] [Changさん]
第5回演習
演習問題5「角運動量の合成」
第18回 6月18日(火):まとめ [武井さん] [久喜さん] [荻野さん]
既約テンソル演算子の定義
  • 物理量の変換性
  • ベクトルとテンソル
既約テンソル演算子の積から作る既約テンソル演算子
  • Clebsch-Gordan係数の満たす漸化式
  • 高次のテンソルと既約テンソル演算子
第19回 6月21日(金):まとめ [佐藤さん] [赤間さん] [平尾さん]
ウィグナー・エッカートの定理
  • 既約テンソルの積の変換性
  • Clebsch-Gordan係数の満たす漸化式
  • 状態に作用した既約テンソルの変換則
第20回 6月25日(火):まとめ [荒木さん] [佐藤さん] [古谷さん]
ウィグナー・エッカートの定理(続き)
  • 還元行列要素
  • ウィグナー・エッカートの定理を用いた既約テンソル演算子の行列要素の計算
回転群の導入
  • 回転操作とSO(3)
  • 回転軸の存在
  • 回転群とは
  • 回転操作の類と回転軸
第21回 6月28日(金):まとめ [工藤さん] [大山さん] [山崎さん]
第6回演習
演習問題6「量子スピン系」
第22回 7月2日(火):まとめ [赤間さん] [平尾さん] [Changさん]
オイラー角による回転の表示
  • 回転軸の移動と共役な回転
  • 回転の合成からオイラー角にでの回転の表示の導出
対称操作と多重項
  • 対称操作とユニタリ変換
  • 対称操作で不変なハミルトニアンと多重項
  • 状態の再構成と群の表現
  • 表現のユニタリ性
第23回 7月5日(金):まとめ [荻野さん] [柴田さん] [村上さん]
量子力学における群の表現の意義(復習)
  • 縮退した基底関数が作る列ベクトル
  • 群の線形表現(行列記法)
回転群の表現
  • 無限小変換としての角運動量
  • スピンj表現
  • オイラー角による回転操作の行列表現の形
Schwinger Bosonの導入
  • Schwinger Bosonによる角運動量演算子の表示
  • 角運動量の代数
  • J2のBoson表現
第24回 7月9日(火):まとめ  [大山さん] [萩野さん] [山崎さん]
第7回演習
演習問題7「既約テンソル」
第25回 7月12日(金):まとめ [大山さん] [佐藤さん] [三浦さん]
Schwinger Boson の復習
回転行列の具体的な形
  • Schwinger Boson のユニタリ変換
  • 回転行列の明示的な展開形
第26回 7月16日(火):まとめ [柏葉さん] [佐藤さん] [武井さん]
表現行列の明示的な形:j=1/2の場合
  • 回転行列としてのSU(2)
  • SU(2)とSO(3)
  • 2価表現
表現行列の明示的な形:j=0,1,2,...の場合
  • 表現行列と球面調和関数
第27回 7月19日(金):まとめ [荒木さん] [佐藤さん] [吉岡さん]
第8回演習
演習問題8「連続群としての回転と群の表現」
第28回 7月23日(火):まとめ [吉岡さん] [三浦さん] [荒木さん]
第9回演習
演習問題9「Schwinger boson」
第29回 7月26日(金):まとめ [三浦さん] [戸澤さん] [萩野さん]
球面調和関数と回転群の表現
  • 表現行列での表示
  • 加法定理
  • 多重極展開
  • Clebcsh-Gordan係数と回転群
第30回 7月30日(火):まとめ [荒木さん] [武井さん] [宇野さん]
第10回演習
演習問題10「球面調和関数と回転群」
期末試験  8月2日(金):
2013年度春学期量子力学3試験問題(含む公式集) (初貝)
皆さんご苦労様。みんな頑張りました!(ちょっと簡単すぎたか)

 

 

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今年もやります。まずは量子力学3(遠隔). 冬は 統計力学2 改め物性理論4 (大学院「ベリー接続の理論とバルクエッジ対応」). 令和二年の新年あけましておめでとうございます。今年もあと102日!
最新ニュース
投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-09-17 11:42:01 (22 ヒット)

As for a topological characterization of a full Liouvillian (including jump term) for the non hermitian fractional quantum Hall states, we are proposing a pseudospin Chern number associated with the Niu-Thouless-Wu type twists in the doubled Hilbert space. Numerical demonstration of the proposal is explicitely given and its validity is discussed. Have a look at "Fate of fractional quantum Hall states in open quantum systems: Characterization of correlated topological states for the full Liouvillian" by Tsuneya Yoshida, Koji Kudo, Hosho Katsura, and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. Research 2, 033428 (2020) (open access).


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-09-17 11:06:17 (35 ヒット)

The Dirac cone is a typical singular energy dispersion in two dimensions that is a source of various non-trivial topological effects. When realized in real/synthetic materials, it is generically tilted and the equi-energy surface (curve) can be elliptic/hyperbolic (type I/II). The type III Dirac cone is a critical situation between the type I and II that potentially causes various non-trivial physics. As for realization of the type III Dirac cones, we are proposing a generic theoretical scheme without any fine tuning of material parameters . It may also help to synthesize in meta materials. The molecular orbital (MO) construction of the generic flat bands which we are also proposing plays a crutial role. Have a look at "Type-III Dirac Cones from Degenerate Directionally Flat Bands: Viewpoint from Molecular-Orbital Representation" by Tomonari Mizoguchi and Yasuhiro Hatsugai, J. Phys. Soc. Jpn. 89, 103704 (2020) Also arXiv:2007.14643.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-09-08 20:05:59 (44 ヒット)

Motivated by a historical example, the Dirac Hamiltonian as a square-root of the Klein-Gordon Hamiltonian, its lattice analogue has been discussed recently. Zero energy states are shared by the parent and its descendant. The story is more than that. Not necessarily zero energy but its high energy part can also share topological characters. We hereby propose a “square-root higher order topological insulator (square-root HOTI)” when its squared parent is HOTI. Based on the simple observation that square of the decorated honeycomb lattice is given by a decoupled sum of the Kagome and honeycomb lattices, we have demonstrate that the “corner states” of the breezing Kagome lattice with boundaries share topological characters with its descendant as the decorated honeycomb lattice. Have a look at our recent paper, "Square-root higher-order topological insulator on a decorated honeycomb lattice" by Tomonari Mizoguchi, Yoshihito Kuno, and Yasuhiro Hatsugai, to appear in Phys. Rev. A, also arXiv:2004.03235.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-08-16 14:53:28 (171 ヒット)

Adiabatic deformation of gapped systems is a conceptual basis of topological phases. It implies that topological invariants of the bulk described by the Berry connection work as topological order parameters of the phase. This is independent of the well-established symmetry breaking scenario of the phase characterization. Adiabatic heuristic argument for the fractional quantum Hall states is one of the oldest such trials that states the "FRACTIONAL" state is deformed to the “INTEGER”. Although it is intuitive and physically quite natural, there exist several difficulties. How the states with different degeneracy are deformed each other adiabatically? We have clarified the questions and demonstrated this adiabatic deformation on a torus in the paper "Adiabatic heuristic principle on a torus and generalized Streda formula" by Koji Kudo and Yasuhiro Hatsugai , Phys. Rev. B 102, 125108 (2020) (also arXiv:2004.00859) What is deformed continuously is a gap not the states ! This is also sufficient for the topological stability of the Chern number (of the degenerate multiplet) as a topological order parameter. Have a look at.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-07-30 12:47:16 (163 ヒット)

Our article on non-hermitian band touching for strongly correlated systems has been published in PTEP (Progress of Theoretical and Experimental Physics), "Exceptional band touching for strongly correlated systems in equilibrium", by Tsuneya Yoshida, Robert Peters, Norio Kawakami, Yasuhiro Hatsugai. Focusing on the non-hermitian topological phenomena for the equilibrium Green function of correlated electrons, a compact review of the exceptonal band touching that is intrinsic for non-hermitian matrices is described as well. Have a look at.


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    [3] JPS Fall meeting, JAPAN (2004)
    [4] APS/JPS March meeting (2005)
    [5] JPS Fall meeting (2005):Entanglement
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    [9] ETH, Zurich (2008)
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    [12]HMF19, Fukuoka (2010)
    [13] NTU, Singapore (2011)
    [14] ICTP, Trieste (2011)
    [15] Villa conf., Orland (2012)
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