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初貝 安弘
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ResercherID: Y. Hatsugai
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Web 記事 - 201001のエントリ

ベリー位相(とゲージ構造)

カテゴリ : 
研究解説:  » ベリー接続
執筆 : 
hatsugai 2010-1-29 10:37

断熱定理のところで説明したように量子系が時間的に変化しない定常状態にあり、かつ他の状態とエネルギーギャップをもって隔てられているとしましょう。ここでは小鳥が1わ入った鳥かごをイメージしてみます。この系を断熱定理の仮定を満たすようにゆっくり移動させ、最後にもとの位置に戻すことを考えましょう。鳥の入った鳥かごをそ〜っと2階までもっていってまたそーっと1階にある元の場所に戻すわけです。断熱定理によるとこの過程で量子系の状態は変化しないので系の量子状態はもとに戻ることとなります。禅問答のようですが、もとにもどるころはもどるのですが、実はすこし何かが変化する余地があるのです。それがなければわざわざ説明しませんよね、

 

 ここで量子系の状態とは何かを少し考えてみましょう。量子系の状態とはある種のベクトルとみなせますから高校で学んだ空間内の点を指定する位置ベクトルをイメージしてみましょう。ただ量子論ではベクトル自体に意味があるので、その向きは気にしないことにします。線分を空間の中に書いてベクトルとしたとき、線分の両端のどちらに矢印を書くかは気にしないというのです。さらにベクトルの大きさは色々あるの混乱をきたすので常に大きさ1のベクトルだけを考える事とします。これを量子論では状態は規格化されていると言います。さあどうでしょうか?量子論では状態が向きを気にしない長さ1のベクトルで指定されていて、断熱定理によると上記の過程(断熱過程)で状態がもとに戻ったとして、何かさらに変化する余地はあるとおもいますか??

 賢明なかた(注意深い方)でしたらおわかりと思いますが、量子論ではベクトルの向きを気にしないといいましたからその向きが変わってしまう可能性があるのです。上記の3次元空間のベクトルの例では向きは −1(マイナス一)を書けることでいれかわりますが、その符号が断熱過程において変化する可能性があるというのです。一般の量子系では状態はベクトルはベクトルでも複素数を成分とするベクトルをかんがえますので、規格化しても絶対値が1の複素数、つまり位相だけ不定となりますが、ここでの断熱過程においては系がもとにもどってもこの位相は必ずしももとにもどらず、ある有限の位相変化が残ることがあります。この位相変化がベリー位相とよばれるもので、量子系の幾何学的位相と呼ばれるものの代表格とい考えられます。

 ゲージ構造についてはまた後ほど、、

断熱定理

カテゴリ : 
研究解説:  » ベリー接続
執筆 : 
hatsugai 2010-1-28 21:03

 原子(アトム)とはギリシャ時代に物質をどんどん細かく分けていくとあるところで、これ以上は分けられないもの、分けてしまうと性質が変わってしてしまうものとして、観念的(哲学的)に考えられたものですが,量子力学の量子とはこれと類似のある何か基本的なを意味します。例として信号機の赤色の光を考えてみましょう。信号の出力を絞っていくとどんどん暗くなりますが、光を量子論的に考えるといくらでも暗くできるのではなく、限界があることとなります。赤色の光にはその基本的な単位つまり量子があるのです。この光の量子はプランクにより光量子仮説として、ある実験の解釈のために導入されましたが、現在では確固たる実験事実となっています。赤色の光を検出器で測りながらどんどん暗くするとあるところで、検出器は連続して光を検出しなくなり、ポツポツと不連続に出力を出すようになります。光の量子をフォトンといいますが、この領域の検出器はフォトンカウンターつまり光量子の数を数える計測器となるのです。

 もう少し広く量子とはquantum jupm等と使われることからわかるように不連続性を意味します。光量子は1個、2個,3個と不連続な整数個しかありえないわけで光量子1.2個が観測されることはないのです。表題の断熱定理とはこの不連続性に関係します。物理的な系が時間的に変化しないある量子状態にあるとしましょう(定常状態といいます)。この状態は例えば光量子2個の状態のように他の量子状態(例えば光量子3個の状態)とは不連続にしか変化できないとします。外界からエネルギーをもらわないと他の定常状態に移動(遷移といいます)できないわけですが、不連続性に対応してこの状態の変化に必要なエネルギーは有限の大きさとなります。光量子1個分のエネルギーをもらわないと光量子が2個の状態から3個の状態には変化できないわけです。今、物理系は定常状態、つまり時間的に変化しない状態にあると仮定していますが、この系をゆっくり変化させることを考えてみましょう。できるだけそーーと、無限にゆっくりと変化させることを考えましょう。2個光量子の入った箱をゆっくり動かすようなものです。ここで動かすためには外界からエネルギーを注入しなければ成りませんが他の状態に移り変わるためには「量子」に対応するだけの有限の大きさのエネルギーが必要となることを思い出しましょう。ゆっくり動かすときゆっくりであればあるだけ外界からの外乱によるエネルギーの流入は少ないわけですから、量子に対応するエネルギーに比べてこの外乱のエネルギーを小さくすれば、つまりゆっくり動かせば系はほとんど移動に伴なう外乱の影響を受けないこととなります。つまり、「量子化された定常状態にある系は系を無限にゆっくり動かすとき状態が変化しない」こととなります。これがボルン、フォン・ノイマン等により定式化された断熱定理とよばれる主張です。ここで系が量子化されていることつまり他の状態と有限のエネルギーをもって分離されていることが重要です。物理的な考察では単に「ゆっくりと」というだけでは意味ある主張はできません何に対してゆっくりなのかを示さなければなりませんが、ここでは他の状態とのエネルギー差(ギャップといいます)を基準にして移動にともなう外乱のエネルギーを極めて小さくするというわけです。ギャップがあれば断熱定理が成立するのです。

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今年もやります。まずは量子力学3. 冬は 統計力学2. 平成30年の新年あけましておめでとうございます。今年もあと311日!
最新ニュース
投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2017-12-26 01:33:43 (137 ヒット)

最近の研究成果トピックスとして2017年度の科研費ニュース vol.3 にトポロジカル相とバルク・エッジ対応の関係の解説を我々の研究の背景として書きました。予備知識は不要ですのでご興味のある方はご覧下さい。「トポロジカル物質におけるバルク・エッジ対応」


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2017-12-22 19:52:51 (110 ヒット)

Michel Fruchart (Instituut-Lorentz Universiteit, Leiden) will give a talk on Jan.9 (2018), 10:30 am at Rm. B602 by the title Topology of effective evolutions: oriented scattering networks and the phase rotation symmetry


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2017-12-22 11:33:02 (104 ヒット)

Christopher Mudry (Paul Scherrer Institute, Switzerland) gives a talk by the title "Abelian topological order in three-dimensional space" at Rm. B602 from 14:00 on Dec.28, (2017). The detail is here


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2017-11-27 18:03:29 (357 ヒット)

We are organizing an "International workshop : Variety and universality of bulk-edge correspondence 2018 (BEC2018) . Please do not confuse with Bose-Einstein condensation :) Its program is ready.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2017-10-06 16:36:02 (197 ヒット)

The entanglement Chern numbers is a Chern number of an entanglement Hamiltonian which characterizes topological properties of a topological phase. Starting from a pure state density matrix of the ground state, one may obtain finite temperature (mixed state) density matrix by tracing out parts of the system. If the entanglement hamiltonian has a finite energy gap, the Chern number is well defined by lowering the temperature. We apply the concept for the 3D topological phases.The parity of the number of the Weyl point gives a well defined topological number to distinguish the the state is topologically non trivial. Have a look at arXiv 1708.03722 . The paper has been accepted for publication in Physical Review B.


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