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初貝 安弘
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ResercherID: Y. Hatsugai
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Web 記事 - クラマース縮退と四元数的ベリー接続

クラマース縮退と四元数的ベリー接続

カテゴリ : 
研究解説:  » ベリー接続
執筆 : 
hatsugai 2010-7-6 10:19

時間反転な系特有のクラマース縮退は4元数(Quaternion)により自然に記述されます。[Y. Hatsugai in Focus issue in topological insulators :NJP] [論文直接]

一般に波動関数の位相の不定性はベリー接続に U(1) のゲージ構造をあたえますが、クラマース縮退のある場合、それはSp(1)ゲージ構造となります。また、ベリー接続の特異点を与える偶然縮退は一般にはDirac単磁極を与えますが、時間反転不変な場合、この特異点はYang のSU(2)単磁極となります。この例のように Sp(1)=SU(2)の同値性に基づくと時間反転不変な系でのベリー接続はSU(2)ゲージ理論の一つの実現をあたえることとなります。
ここで通常の複素数を四元数(Quertenion)に読み替えることにより、時間反転を持たない場合と持つ場合がアナロジーを越えてマップとして自然に読み替えられることとなります。ベリー接続のゲージ固定条件を考えることにより、非自明かつ自然な次元は複素数、四元数の基底の数により規定され、それぞれ2次元、4次元となります。対応して位相不変量はそれぞれ、2次元、4次元球面上の第1,第2チャーン数であたえられ、その量子化は1つ次元が下の赤道上、1次元閉曲線上の回転数、3次元球面上のポントリャーギン数の量子化に帰着しますが、これは特定のゲージ固定のもとでの球面上の特異点とみることもできます。この特異点は、自然な次元から1つ次元をあげた、それぞれ3次元、5次元のなかで一般化したDirac stringとなり、その終点がDiracおよびYang 単磁極となるのです。これら2次元、4次元球面上の赤道はカイラル対称な部分空間として特徴付けられ、この赤道上での奇数次元の積分で定義されるベリー位相並びにチャーンサイモン積分は第一、第2チャーン数を整数のゲージ不定性としてのぞけば半整数値に量子化されることとなります。これがZ2量子化です。くわしくはまた!

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The entanglement Chern numbers is a Chern number of an entanglement Hamiltonian which characterizes topological properties of a topological phase. Starting from a pure state density matrix of the ground state, one may obtain finite temperature (mixed state) density matrix by tracing out parts of the system. If the entanglement hamiltonian has a finite energy gap, the Chern number is well defined by lowering the temperature. We apply the concept for the 3D topological phases.The parity of the number of the Weyl point gives a well defined topological number to distinguish the the state is topologically non trivial. Have a look at arXiv 1708.03722 . The paper has been accepted for publication in Physical Review B.


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