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Web 記事 - ベリー位相(とゲージ構造)

ベリー位相(とゲージ構造)

カテゴリ : 
研究解説:  » ベリー接続
執筆 : 
hatsugai 2010-1-29 10:37

断熱定理のところで説明したように量子系が時間的に変化しない定常状態にあり、かつ他の状態とエネルギーギャップをもって隔てられているとしましょう。ここでは小鳥が1わ入った鳥かごをイメージしてみます。この系を断熱定理の仮定を満たすようにゆっくり移動させ、最後にもとの位置に戻すことを考えましょう。鳥の入った鳥かごをそ〜っと2階までもっていってまたそーっと1階にある元の場所に戻すわけです。断熱定理によるとこの過程で量子系の状態は変化しないので系の量子状態はもとに戻ることとなります。禅問答のようですが、もとにもどるころはもどるのですが、実はすこし何かが変化する余地があるのです。それがなければわざわざ説明しませんよね、

 

 ここで量子系の状態とは何かを少し考えてみましょう。量子系の状態とはある種のベクトルとみなせますから高校で学んだ空間内の点を指定する位置ベクトルをイメージしてみましょう。ただ量子論ではベクトル自体に意味があるので、その向きは気にしないことにします。線分を空間の中に書いてベクトルとしたとき、線分の両端のどちらに矢印を書くかは気にしないというのです。さらにベクトルの大きさは色々あるの混乱をきたすので常に大きさ1のベクトルだけを考える事とします。これを量子論では状態は規格化されていると言います。さあどうでしょうか?量子論では状態が向きを気にしない長さ1のベクトルで指定されていて、断熱定理によると上記の過程(断熱過程)で状態がもとに戻ったとして、何かさらに変化する余地はあるとおもいますか??

 賢明なかた(注意深い方)でしたらおわかりと思いますが、量子論ではベクトルの向きを気にしないといいましたからその向きが変わってしまう可能性があるのです。上記の3次元空間のベクトルの例では向きは −1(マイナス一)を書けることでいれかわりますが、その符号が断熱過程において変化する可能性があるというのです。一般の量子系では状態はベクトルはベクトルでも複素数を成分とするベクトルをかんがえますので、規格化しても絶対値が1の複素数、つまり位相だけ不定となりますが、ここでの断熱過程においては系がもとにもどってもこの位相は必ずしももとにもどらず、ある有限の位相変化が残ることがあります。この位相変化がベリー位相とよばれるもので、量子系の幾何学的位相と呼ばれるものの代表格とい考えられます。

 ゲージ構造についてはまた後ほど、、

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Thouless' (adiabatic) pump in one-dimension is a typical topological phenomena characterized by the Chern number that correspondes to the quantized motion of the center of mass (COM). Although the COM is only well-defined with boudary (to set the origin of the coordinate), the COM experimentally observed is given by the bulk and the edge states do not contribute. Ultimate adiabaticity, that has never been achieved experimentaly, supports the quantization of the COM supplemented by the periodicity of the system with boundaries. This is the unique bulk-edge correspondence of the pump. We here propose a generic construction using a phase boundary line of the symmetry protect phase with two parameters works as a topological obstruction of the pump in extended parameter space. The construction is purely of manybody and the interaction can be one of the parameters. Have a look at "Interaction-induced topological charge pump" by Yoshihito Kuno and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. Research 2, 042024(R), (2020) (Open access)


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Motivated by a historical example, the Dirac Hamiltonian as a square-root of the Klein-Gordon Hamiltonian, its lattice analogue has been discussed recently. Zero energy states are shared by the parent and its descendant. The story is more than that. Not necessarily zero energy but its high energy part can also share topological characters. We hereby propose a “square-root higher order topological insulator (square-root HOTI)” when its squared parent is HOTI. Based on the simple observation that square of the decorated honeycomb lattice is given by a decoupled sum of the Kagome and honeycomb lattices, we have demonstrate that the “corner states” of the breezing Kagome lattice with boundaries share topological characters with its descendant as the decorated honeycomb lattice. Have a look at our recent paper just published online, "Square-root higher-order topological insulator on a decorated honeycomb lattice" by Tomonari Mizoguchi, Yoshihito Kuno, and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. A 102, 033527 (2020), also arXiv:2004.03235.


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As for a topological characterization of a full Liouvillian (including jump term) for the non hermitian fractional quantum Hall states, we are proposing a pseudospin Chern number associated with the Niu-Thouless-Wu type twists in the doubled Hilbert space. Numerical demonstration of the proposal is explicitely given and its validity is discussed. Have a look at "Fate of fractional quantum Hall states in open quantum systems: Characterization of correlated topological states for the full Liouvillian" by Tsuneya Yoshida, Koji Kudo, Hosho Katsura, and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. Research 2, 033428 (2020) (open access).


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