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Web 記事 - 断熱定理

断熱定理

カテゴリ : 
研究解説:  » ベリー接続
執筆 : 
hatsugai 2010-1-28 21:03

 原子(アトム)とはギリシャ時代に物質をどんどん細かく分けていくとあるところで、これ以上は分けられないもの、分けてしまうと性質が変わってしてしまうものとして、観念的(哲学的)に考えられたものですが,量子力学の量子とはこれと類似のある何か基本的なを意味します。例として信号機の赤色の光を考えてみましょう。信号の出力を絞っていくとどんどん暗くなりますが、光を量子論的に考えるといくらでも暗くできるのではなく、限界があることとなります。赤色の光にはその基本的な単位つまり量子があるのです。この光の量子はプランクにより光量子仮説として、ある実験の解釈のために導入されましたが、現在では確固たる実験事実となっています。赤色の光を検出器で測りながらどんどん暗くするとあるところで、検出器は連続して光を検出しなくなり、ポツポツと不連続に出力を出すようになります。光の量子をフォトンといいますが、この領域の検出器はフォトンカウンターつまり光量子の数を数える計測器となるのです。

 もう少し広く量子とはquantum jupm等と使われることからわかるように不連続性を意味します。光量子は1個、2個,3個と不連続な整数個しかありえないわけで光量子1.2個が観測されることはないのです。表題の断熱定理とはこの不連続性に関係します。物理的な系が時間的に変化しないある量子状態にあるとしましょう(定常状態といいます)。この状態は例えば光量子2個の状態のように他の量子状態(例えば光量子3個の状態)とは不連続にしか変化できないとします。外界からエネルギーをもらわないと他の定常状態に移動(遷移といいます)できないわけですが、不連続性に対応してこの状態の変化に必要なエネルギーは有限の大きさとなります。光量子1個分のエネルギーをもらわないと光量子が2個の状態から3個の状態には変化できないわけです。今、物理系は定常状態、つまり時間的に変化しない状態にあると仮定していますが、この系をゆっくり変化させることを考えてみましょう。できるだけそーーと、無限にゆっくりと変化させることを考えましょう。2個光量子の入った箱をゆっくり動かすようなものです。ここで動かすためには外界からエネルギーを注入しなければ成りませんが他の状態に移り変わるためには「量子」に対応するだけの有限の大きさのエネルギーが必要となることを思い出しましょう。ゆっくり動かすときゆっくりであればあるだけ外界からの外乱によるエネルギーの流入は少ないわけですから、量子に対応するエネルギーに比べてこの外乱のエネルギーを小さくすれば、つまりゆっくり動かせば系はほとんど移動に伴なう外乱の影響を受けないこととなります。つまり、「量子化された定常状態にある系は系を無限にゆっくり動かすとき状態が変化しない」こととなります。これがボルン、フォン・ノイマン等により定式化された断熱定理とよばれる主張です。ここで系が量子化されていることつまり他の状態と有限のエネルギーをもって分離されていることが重要です。物理的な考察では単に「ゆっくりと」というだけでは意味ある主張はできません何に対してゆっくりなのかを示さなければなりませんが、ここでは他の状態とのエネルギー差(ギャップといいます)を基準にして移動にともなう外乱のエネルギーを極めて小さくするというわけです。ギャップがあれば断熱定理が成立するのです。

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最新ニュース
投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-11-03 10:00:50 (4759 ヒット)

Thouless' (adiabatic) pump in one-dimension is a typical topological phenomena characterized by the Chern number that correspondes to the quantized motion of the center of mass (COM). Although the COM is only well-defined with boudary (to set the origin of the coordinate), the COM experimentally observed is given by the bulk and the edge states do not contribute. Ultimate adiabaticity, that has never been achieved experimentaly, supports the quantization of the COM supplemented by the periodicity of the system with boundaries. This is the unique bulk-edge correspondence of the pump. We here propose a generic construction using a phase boundary line of the symmetry protect phase with two parameters works as a topological obstruction of the pump in extended parameter space. The construction is purely of manybody and the interaction can be one of the parameters. Have a look at "Interaction-induced topological charge pump" by Yoshihito Kuno and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. Research 2, 042024(R), (2020) (Open access)


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-10-28 10:28:43 (5877 ヒット)

The Dirac cone is a typical singular energy dispersion in two dimensions that is a source of various non-trivial topological effects. When realized in real/synthetic materials, it is generically tilted and the equi-energy surface (curve) can be elliptic/hyperbolic (type I/II). The type III Dirac cone is a critical situation between the type I and II that potentially causes various non-trivial physics. As for realization of the type III Dirac cones, we are proposing a generic theoretical scheme without any fine tuning of material parameters . It may also help to synthesize in meta materials. The molecular orbital (MO) construction of the generic flat bands which we are also proposing plays a crutial role. Have a look at "Type-III Dirac Cones from Degenerate Directionally Flat Bands: Viewpoint from Molecular-Orbital Representation" by Tomonari Mizoguchi and Yasuhiro Hatsugai, J. Phys. Soc. Jpn. 89, 103704 (2020) Also arXiv:2007.14643. The paper has been selected as an Editors' choice of J. Phys. Soc. Jpn. (Sep. 2020). See also "News and comments" by Prof. N. Nagaosa.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-10-01 16:07:56 (5229 ヒット)

Motivated by a historical example, the Dirac Hamiltonian as a square-root of the Klein-Gordon Hamiltonian, its lattice analogue has been discussed recently. Zero energy states are shared by the parent and its descendant. The story is more than that. Not necessarily zero energy but its high energy part can also share topological characters. We hereby propose a “square-root higher order topological insulator (square-root HOTI)” when its squared parent is HOTI. Based on the simple observation that square of the decorated honeycomb lattice is given by a decoupled sum of the Kagome and honeycomb lattices, we have demonstrate that the “corner states” of the breezing Kagome lattice with boundaries share topological characters with its descendant as the decorated honeycomb lattice. Have a look at our recent paper just published online, "Square-root higher-order topological insulator on a decorated honeycomb lattice" by Tomonari Mizoguchi, Yoshihito Kuno, and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. A 102, 033527 (2020), also arXiv:2004.03235.


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-09-17 11:42:01 (4978 ヒット)

As for a topological characterization of a full Liouvillian (including jump term) for the non hermitian fractional quantum Hall states, we are proposing a pseudospin Chern number associated with the Niu-Thouless-Wu type twists in the doubled Hilbert space. Numerical demonstration of the proposal is explicitely given and its validity is discussed. Have a look at "Fate of fractional quantum Hall states in open quantum systems: Characterization of correlated topological states for the full Liouvillian" by Tsuneya Yoshida, Koji Kudo, Hosho Katsura, and Yasuhiro Hatsugai, Phys. Rev. Research 2, 033428 (2020) (open access).


投稿者 : hatsugai 投稿日時: 2020-08-16 14:53:28 (5422 ヒット)

Adiabatic deformation of gapped systems is a conceptual basis of topological phases. It implies that topological invariants of the bulk described by the Berry connection work as topological order parameters of the phase. This is independent of the well-established symmetry breaking scenario of the phase characterization. Adiabatic heuristic argument for the fractional quantum Hall states is one of the oldest such trials that states the "FRACTIONAL" state is deformed to the “INTEGER”. Although it is intuitive and physically quite natural, there exist several difficulties. How the states with different degeneracy are deformed each other adiabatically? We have clarified the questions and demonstrated this adiabatic deformation on a torus in the paper "Adiabatic heuristic principle on a torus and generalized Streda formula" by Koji Kudo and Yasuhiro Hatsugai , Phys. Rev. B 102, 125108 (2020) (also arXiv:2004.00859) What is deformed continuously is a gap not the states ! This is also sufficient for the topological stability of the Chern number (of the degenerate multiplet) as a topological order parameter. Have a look at.


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